■ 整式f(x)について、恒等式f(x^(2))=x^(3)f(x+1)-2x^(4)+2x^(2)が成り立つとする。次の問いに答えよ。
（１）f(0)、f(1)、f(2)の値を求めよ。
（２）f(x)の次数を求めよ。
（３）f(x)を決定せよ。

(1)
両辺にx=0を代入すると，f(0)=0・f(1)-0+0=0
両辺にx=-1を代入すると，f(1)=-1・f(0)-2+2=0
両辺にx=1を代入すると，f(1)=1・f(2)-2+2 ⇔ f(2)=0

(2)
f(x)をn次式とする。左辺は2n次式，右辺は3+n次式である。
n=0の時左辺は0次式、右辺は4次式より不適
n=1の時左辺は1次式、右辺は4次式より不適
したがってn≧2で考える。
両辺の次数は等しいから，2n=3+n ⇔ n=3

(3)
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とする．(1)より，
f(0)=d=0
f(1)=a+b+c+d=0
f(2)=8a+4b+2c+d=0
これらから，d=0，b=-3a，c=2a
よって，f(x)=a(x^(3)-3x^(2)+2x)

このとき，(左辺)=a(x^(6)-3x^(4)+2x^(2))
(右辺)=x^(3)*a*{(x+1)^(3)-3(x+1)^2+2(x+1)}-2x^4+2x^2
=ax^(3)*(x+1)｛(x+1)^2-3(x+1)+2｝-2x^4+2x^2
=ax^(6)-(a+2)x^(4)+2x^(2)

両辺の係数を比較して，-3a=-a-2
よって，a=1

したがって，f(x)=x^3-3x^2+2x

入試標準レベルか