■ ・|a|<1、|b|<1、|c|<1の時、次の問いに答えよ。
(1) ab+1 > a+bであることを証明せよ。
(2) abc+2 > a+b+cであることを証明せよ。

(1)
(左辺)-(右辺)より
ab+1-(a+b)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)
|a|<1、|b|<1より
(a-1)<0、(b-1)<0であるので(a-1)(b-1)>0
よってab+1>a+b より題意が示された。

(2)
(1)より、|A|<1,|B|<1とすれば
AB+1>A+Bが成立するので|ab|<1、|c|<1であることから
A=ab B=cとおくと(1)の結果を使って
abc+1>ab+c ・・�@
�@に両辺にそれぞれ1を足しても大小は変わらないので
abc+2>ab+c+1 ・・・�A
また(1)から
ab+1>a+bより両辺にそれぞれcを足しても大小関係は変わらないので
ab+c+1>a+b+c　・・・�B
�A、�Bより
abc+2>ab+c+1>a+b+cより
abc+2>a+b+cとなり、題意は示された。